رسائل دكتوراة
French
2007
Unimodalité et propriétés combinatoires de suites numériques
Abdelkader Khelladi , Farid Mokrane , Hacène Belbachir
كلية الرياضيات-جامعة العلوم والتكنولوجيا هواري بومدين - الجزائر · الجزائر
Le thème principal de la thèse concerne l'étude des propriétés combinatoires de suites numériques, telles que les suites récurrentes linéaires, et plus particulièrement les suites de Fibonacci, de Lucas, de Pell, de Pell-Lucas, de Jacobsthal, de Jacobsthal-Lucas, ainsi que leurs généralisations. D'autres suites, telles que celles liées aux coefficients binomiaux ainsi
que la somme de puissances d'inverses de progressions arithmétiques, sont également abordées. Dans la plupart des cas, la propriété d'unimodalité de ces suites est établie, et des interprétations combinatoires originales y sont fournies. On y donne aussi, explicitement, le terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre quelconque. Ce qui permet de
calculer les puissances successives de matrices carrées. Des identités combinatoires concernant les nombres de Fibonacci, les nombres de Stirling, ainsi que d'autres en sont déduites. L'étude des coefficients bi-q-nomiaux est envisagée. Ces derniers sont des extensions naturelles des éléments du triangle de Pascal. On y établit trois liens
remarquables : avec la suite de Fibonacci généralisée, avec les polynômes (partiels) exponentiels de Bell et avec la convolée de la loi uniforme discrète. Pour cette dernière, on calcule la fonction génératrice correspondante. Des sommes combinatoires (sommes d'ordre deux et sommes trigonométriques) liées aux nombres de Fibonacci et de Lucas
généralisés sont évaluées. Les polynômes de Fibonacci bivariés généralisés sont également abordés. On y établit en premier lieu que les polynômes de Chebyshev de première et seconde espèce ont des coordonnées entières remarquables dans des bases spécifiques. Le cas général des polynômes bivariés de Fibonacci généralisés est traité en
mettant en relief des résultats analogues.
La notion de valuation est mise à profit pour prouver que la somme des puissances des inverses d'une progression arithmétique n'est jamais un entier. Enfin deux inégalités - l'une concernant les formes bilinéaires symétriques positives, et l'autre une généralisation de l'inégalité de Buniakowsky-Cauchy et de l'identité de Lagrange - sont prouvées. C'est la
version de l'hyperdéterminant de Gram discrète.
Le travail s'achève par trois annexes. La première introduit la notion de q-norme, où il est établi que toute q-norme est une norme au sens classique et inversement. La seconde prend en charge une généralisation de l'inégalité de Guo et Jiang au cas de plusieurs fonctions. La troisième, via une approche combinatoire permet de calculer explicitement les
auto-covariances données par les équations de Yule-Walker périodiques d'un modèle PARMA.