رسائل دكتوراة
French
2021
Calcul dynamique des plaques rectangulaires reposant sur la surface du milieu élastique de propriétés inertielles
حمزة غرداوي, صلاح خنفود
كلية الرياضيات وعلوم الحاسب وعلوم المواد-جامعة 8 ماي 1945 قالمة · الجزائر
L'étude statique ou dynamique des poutres et des plaques reposant sur la surface ou à l’intérieur des milieux élastiques reste un sujet d’actualité vu l’utilisation accrue de ce genre de structures dans les différents domaines de construction, notamment celui du génie civil, génie mécanique, secteur naval, secteur aéronautique etc. Ce genre d’étude à réaliser doit être accomplie de façon authentique afin d’aboutir, d’une manière rationnelle et précise, au maximum du comportement réel statique et dynamique des structures en interaction avec des milieux élastiques. Dans ce contexte, ce travail de thèse de doctorat est focalisé sur une approche semi-analytique, basant sur le couplage de deux études essentielles relatives à la structure et au milieu élastique, permettant l’analyse dynamique des plaques rectangulaires reposant sur la surface d’un semi-infini élastique de propriétés inertielles (modèle de Lamb).L’approche utilisée est basée sur une méthode de calcul connue dans la théorie d’élasticité sous le nom ‘la méthode mixte’, et connue aussi dans certaines littératures sous le nom ‘la méthode de Zhemochkin’. Le principe de cette méthode pour notre étude consiste à discrétiser le système étudié (plaque rectangulaire reposant sur la surface du semi-infini élastique de propriétés inertielles) en un nombre fini d’éléments rectangulaires identiques. Le contact continu entre la plaque et la surface du semi-infini élastique est donc remplacé par un contact partiel assuré par des liaisons se trouvant au niveau des centres des éléments de discrétisation.L’application de l’approche proposée, basée sur la méthode mixte, aboutit finalement à un système d’équations canoniques linéaire contenant plusieurs paramètres relatifs à la structure étudiée. Les deux paramètres essentiels du système d’équations canoniques représentent les déplacements verticaux de la plaque et les déplacements de la surface du semi-infini élastique sur laquelle la plaque se repose. La méthode énergétique de Ritz est utilisée pour déterminer les déflexions de la plaque étudiée, alors que les déplacements verticaux de la surface du semi-infini élastique sont déterminés par l’étude de la fonction de Green pour le modèle de Lamb. L’étude de la fonction de Green est la tâche la plus compliquée et la plus difficile mathématiquement de ce travail de doctorat. Sa complexité mathématique réside dans la détermination de plusieurs intégrales dont certaines sont associées au problème de singularité ce qui représente de plus le grand challenge à surmonter de cette étude. Ce challenge est surmonté grâce à une attention particulière investie pour l’évaluation de ces intégrales analytiquement ou semi analytiquement, en jouant sur certains changements de variable et sur certains remplacements des fonctions spéciales par des séries polynomiales. Le second grand défi rencontré dans cette étude est la détermination des déflexions de la plaque qui surmonté par l’application de la méthode énergétique de Ritz en adoptant le principe de la solution de Clebs ch pour la résolution de l’équation différentielle aux dérivées partielles des déflexions de la plaque étudiée. Enfin, le couplage de ces deux études essentielles avec d’autres études auxiliaires relatives aux caractéristiques géométriques et mécanique de la structure étudiée est accompli par la méthode de Zhemochkin. Après plusieurs simplifications et transformations mathématiques, la méthode de résolution finale est présentée sous une forme matricielle permettant la détermination des efforts de liaison dans la zone de contact et puis par l’application des différentes formules de la théorie d’élasticité, les autres entités physiques sont déterminées à savoir les valeurs des fréquences propres de la plaque, les modes propres de la plaque, sa réponse dynamique à différents types d’excitations extérieures, etc. Afin de s’assurer de la fiabilité, l’authenticité et la précision des résultats de calcul donnés par cette approche, une comparaison des valeurs des fréquences propres de la plaque et de sa réponse dynamique due à une excitation harmonique avec le modèle du semi-infini élastique de propriétés distributives (modèle de Cousines) est faite. Aussi, les valeurs des fréquences propres de la plaque sont vérifiées et authentifiées par l’application du principe de superposition de la méthode modale. Finalement, les fréquences d’excitation de la plaque sont aussi localisées en utilisant l’analyse (FFT) des spectres obtenus à partir des signaux de la réponse dynamique de la plaque.
The static or dynamic study of beams and plates resting on the surface or inside elastic foundation is a topical subject given the large use of this kind of structures in the various construction fields like civil engineering, mechanical engineering, naval sector, aeronautical sector etc. The researched study must be authentic in order to achieve and predict with a rational and precise manner as much as possible the real static and dynamic behaviour of structures in interaction with elastic foundation. This doctoral thesis focuses on a semi-analytical approach, based on the coupling of two essential studies relating the structure and the elastic foundation, thereby allowing the dynamic analysis of a rectangular plate resting on the surface of an elastic half-space with inertial properties (Lamb's model). The coupling method used is known in elasticity theory as the mixed method, also referred to as Zhemochkin's method. The principle of this method for consists of discretizing the studied system (i.e. the rectangular plate resting on the surface of the elastic half-space with inertial properties) into a number of identical rectangular elements. The continuous contact between the plate and the surface of the elastic half-space is replaced by a partial contact provided by connections located at the centres of the elements. The application of the proposed approach, based on the mixed method, leads to a linear canonical system of equations containing several parameters relating to the studied structure. The two essential parameters of the canonical system represent the vertical deflections of the plate and the vertical displacements of the elastic half-space surface on which the plate rests. The energy method of Ritz's is used to determine the deflections of the studied plate, while the vertical displacements of the surface of the elastic half-space are determined by the study of Green's function for the Lamb's model. The study of Green's functions the most complicated and the most mathematically difficult task of this doctoral work. Its mathematical complexity resides in the determination of several integrals, some of which are associated with the singularity phenomena. The singularity problem represents the greatest challenge to be overcome in this study. This challenge is overcome through special attention to the evaluation of these integrals analytically or semi-analytically by playing on certain points like changes of variable systems and certain approximations of special functions by polynomial series. The second major challenge encountered in this study is the determination of the plate deflections. This is addressed by the application of the energy method of Ritz after adopting Clebsch's solution of the partial differential equation concerning the deflections of the studied plate. Finally, these two essential studies are coupled with other auxiliary studies relating to the geometrical and mechanical characteristics of the studied structure. Thesis accomplished with Zhemochkin's method. After several simplifications and mathematical transformations, the final resolution is presented in a matrix form, thereby allowing the determination of the reactive forces in the contact zone. Next, through the application of various formulations of the theory of elasticity, other physical magnitudes are determined including the plates’ Eigenfrequencies, Eigenspaces, and dynamic response under various external excitations.
To ensure the reliability and the precision of the computational results, a comparison of the values of the Eigenfrequencies of the plate and its dynamic response due to a harmonic external excitation are accomplished through a comparison with Bossiness's model of the distributive properties of an elastic half-space of. Additionally, the values of the Eigenfrequencies of the plate are authenticated by applying the superposition principle of the modal method. Finally, the excitation frequencies of the plate are localized using a Fast Fourier Transform analysis of the spectra obtained from the signals of the dynamic response of the plate.
