Classification des équations différentielles ordinaires à point singuliers irréguliers

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علوم بحتة وطبيعية

الملخص

Soit θ=C{x} l’espace des germes de fonctions holomorphes à l’origine ( = les séries convergentes d’une variable ) , c’est en particulier un anneau de valuation discrète relativement à la valuation v définie sur son corps des fractions K = θ[x−1] = { f = xΡ.g ; p∈Z ; g∈θ} ( = corps des germes en 0 de fonctions méromorphes) par : Pour tout f ∈ K ; f ≠ 0 , v( f ) = infZ { p ; f = xΡ.g et g( 0 ) ≠ 0 }i.e. v : K*⎯→Z , avec v ( K* ) = Z , et v(x) = 1 ( = générateur du groupe Z ) signifie que la variable x définie une uniformisante pour la valuation v . Si f ∈ θ* , alors f(x) = ∑{ f (P) (0)/p !}.xP et on a bien v(f) = infN{p ; f (P)(0) ≠ 0}≥ 0.P ≥ 0Dénotons par θ^ et K^ les formalisés respectifs de θ et de K ( i.e. leurs complètés x-adiques pour la valuation v ) . Soit Ω1K = Ω le K-espace vectoriel de rang 1 des 1-formes différentielles sur K et d : K ⎯→Ω l’application différentielle ; c’est une dérivation non triviale , i.e. une application additive non nulle vérifiant l’identité d(α.β)=α.dβ+β.dα pour tous α,β∈K ; on a alors pour tout α∈ K , dα=(dα/dx ) .dx =β.dx , avec β∈K ;et dx est un générateur de Ω.

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Classification des équations différentielles ordinaires à point singuliers irréguliers

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Développements asymptotiques, Equations différentielles

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K Betina

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Moussa Aissani

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