Degré topologique et Applications.

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علوم بحتة وطبيعية

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Soient y 2 RN etun ouvert borné de RN, f :! RN une application au moins continue,et considérons l.équationf(x) = b:On se pose cette question comment peut-on de manière pratique a¢ rmer qu.il existe au moinsune solution x à notre équation ?Il y a une réponse simple dans le cas où N = 1; par exemple si=]..1; 1[ et f 2 C(]..1; 1[;R);s.il existe deux nombres réels x1; x2 2] .. 1; 1[ tels quef(x1) f(x2) 0;alors notre équation admet au moins une solution, comme conséquence directe du théorème desvaleurs intermédiaires. Alors que serait-ce pour une dimension plus grande N > 1; certains sediront dans le cas où f est linéaire et si le déterminant de f est non nul, alors il existe unesolution et meme une unique solution à notre équation, et ce pour tout b 2 RN; bien entenducela n.est valable que si le déterminant de l.application linéaire f est non nul, que faire si cen.est pas le cas ?!!!C.est pour répondre à cette dernière question, qu.a été développé un outil intervenant pourles applications non-linéaires, où la notion de déterminant pour les applications linéaires, seraremplacée par la notion de "degré", ce dernier est un réel qui indique par sa non nullité quenotre équation admet au moins une solution. Dans le cas de la dimension une.

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Degré topologique et Applications.

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