Upper Bounds for the Number of Limit Cycles for a Class of Polynomial Differential Systems

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علوم بحتة وطبيعية

الملخص

One of the main open problems in the theory of ordinary differential equations is the study of the existence and number of limit cycles, due to their fundamental role in under-standing the periodic behavior of dynamical systems. A limit cycle is an isolated periodic orbit of the system and plays a central role in the qualitative analysis of differential equations. This study falls within the framework of Hilbert’s 16th problem, specifically its second part, which concerns the existence of a uniform upper bound on the number of limit cycles in polynomial differential systems of a given degree. In this thesis of master, we conducted a comprehensive review of the concept of limit cycles, focusing on their identification within a specific class of polynomial differential systems arising from polynomial perturbations added to the linear center x ̇ = y, y ̇ = −x, These perturbations, which involve small parameters ε, generate nonlinear dynamics and give rise to new limit cycles. We employed first- and second-order averaging theory to determine accurate upper bounds on the number of limit cycles bifurcating from the periodic orbits of the unperturbed system. This work is based on a detailed study of the scientific article authored by Jaume Llibre and Clàudia Valls, entitled “On the number of limit cycles of a class of polynomial differential systems” [1], in which we reanalyzed their theoretical results and applied them to an original example. Our main contribution lies in providing an original applied example that explicitly satisfies the conditions of the second-order averaging theory, illustrating the practical challenges involved in applying the theory and complementing the theoretical results established in the referenced article.

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التعريف والنوع

رقم الوثيقة

f017306a-1474-453c-87a9-7b8726c8b98a

رقم العقد

0

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Crawler

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الرسائل العلمية

صيغة المصدر

ماستر (LMD)

نوع الملف

pdf text

أسماء الملفات

962699_1.pdf

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ألقاب المؤلفين

[{"name_ar":" Abdelkrim Kina","title_ar":"اشراف","title_en":"Supervision"},{"name_ar":"Bouchra Taleb ","title_ar":"اعداد","title_en":"Preparation"}]

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English

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Upper Bounds for the Number of Limit Cycles for a Class of Polynomial Differential Systems

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ترجمة الملخص

L’un des principaux problèmes ouverts dans la théorie des équations différentielles ordinaires est l’étude de l’existence et du nombre de cycles limites, en raison de leur rôle fondamental dans la compréhension du comportement périodique des systèmes dynamiques. Un cycle limite est une orbite périodique isolée du système et joue un rôle central dans l’analyse qualitative des équations différentielles. Cette étude s’inscrit dans le cadre du 16e problème de Hilbert, plus précisément sa deuxième partie, qui concerne l’existence d’une borne supérieure uniforme pour le nombre de cycles limites dans les systèmes différentiels polynomiaux d’un certain degré. Dans ce mémoire, nous avons mené une revue complète du concept de cycle limite, en nous concentrant sur leur identification dans une classe spécifique de systèmes différentiels polynomiaux issus de perturbations polynomiales ajoutées au centre linéaire x_dot = y, y_dot = -x. Ces perturbations, qui impliquent de petits paramètres epsilon, engendrent une dynamique non linéaire et donnent naissance à de nouveaux cycles limites. Nous avons utilisé la théorie de la moyenne d’ordre un et deux afin de déterminer des bornes supérieures précises pour le nombre de cycles limites bifurquant à partir des orbites périodiques du système non perturbé. Ce travail repose sur une étude détaillée de l'article scientifique rédigé par Jaume Llibre et Clàudia Valls, intitulé « On the number of limit cycles of a class of polynomial differential systems » [1], dans lequel nous avons réanalysé leurs résultats théoriques et les avons appliqués à un exemple original. Notre contribution principale réside dans la présentation d’un exemple appliqué original satisfaisant explicitement les conditions de la théorie de la moyenne du second ordre, illustrant les défis pratiques liés à l’application de cette théorie et complétant les résultats théoriques établis dans l’article de référence.

كلمات الباحثين

Polynomial differential systems, integrability, phase portrait, limit cycles,Hilbert’s 16thproblem, averaging theory.

إشراف وإعداد

الإشراف

Abdelkrim Kina

الإعداد

Bouchra Taleb

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