حل بعض المعادلات الإهليجية باستعمال طريقة الفروق المنتهية وطريقة العنصر المنتهي ومقارنتهما

الموضوعات

علوم بحتة وطبيعية

الملخص

معظم الظواهر الفيزيائية والهندسية يتم التعبير عنها بمعادلات تفاضلية جزئية، ولفهم هذه المسائل لا بد من حل تلك المعادلات، لكن عملية الحصول على الحل الفعلي ليست دوماً بالمسألة البسيطة؛ لذلك كان من الضروري تقريب هذه المعادلات عددياً. في هذا البحث درسنا المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية الناقصة من الرتبة الثانية بحيث تم التركيز على معادلة بواسون ومعادلة لابلاس في البعد الثاني كنموذج لوصف تلك الظواهر، واستطعنا إيجاد الحل الفعلي للمعادلات المدروسة باستخدام طريقة فصل المتغيرات في حالة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليجية المتجانسة، وطريقة الدوال الذاتية في حالة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليجية غير المتجانسة. وفي هذه الحالة قمنا بمقارنة الحل الفعلي والحل العددي الناتج عن تطبيق طريقتي الفروق المنتهية والعنصر المنتهي. أُجريت المقارنة بواسطة الجداول العددية وباستخدام الرسوم البيانية أيضاً، والجدير بالذكر أن بعض هذه المعادلات وردت في المراجع، بحيث تم حلها باستخدام هذه الطرق أو طرائق أخرى، ولكن بأسلوب مختصر وغير واضح للقارئ؛ لذا قمنا بإعادة صياغة الحل وعرضه بأسلوب مبسط وتفصيلي يوضح آلية كل طريقة، ويساعد القارئ على الفهم. من خلال الأمثلة المدروسة في هذا البحث وجدنا أن طريقة الفروق المنتهية وطريقة العنصر المنتهي كلاهما تكون متقاربة للحل التحليلي، وذلك في حالة دراسة معادلة إهليجية متجانسة (لابلاس) في بعدين مع شروط حدية متجانسة وغير متجانسة من النوع الأول ومعرّفة على نطاق منتظم (مستطيل، مثلث، ...). أما في حالة دراسة معادلة إهليجية غير متجانسة (بواسون) في بعدين مع شروط حدية متجانسة وغير متجانسة من النوع الأول، فإن طريقة العنصر المنتهي أفضل من طريقة الفروق المنتهية للحصول على حل مقرّب للمعادلة الإهليجية غير المتجانسة (بواسون)، وبأقل خطأ في حالة كون منطقة الحل للمعادلة الإهليجية غير المتجانسة (بواسون) ذات شكل هندسي منتظم (مستطيل، مثلث، ...).

روابط وملفات

التعريف والنوع

رقم الوثيقة

0682cb0d-d2a4-49b8-9116-5ff617e9e561

رقم العقد

0

نوع الوسائط

Crawler

نوع المحتوى

الرسائل العلمية

صيغة المصدر

رسائل ماجيستير

نوع الملف

pdf text

أسماء الملفات

1088440_1.pdf

بيانات النشر

ترجمة العنوان

Solving some Elliptic Partial Differential Equations by Using Finite Differences Method and Finite Element Method and Compare Them

ألقاب المؤلفين

[{"name_ar":" نعيمة مفتاح سالم ابحور ","title_ar":"اعداد","title_en":"Preparation"},{"name_ar":"عمر علي العيان","title_ar":"اشراف","title_en":"Supervision"}]

اللغة

Arabic

المصدر والدورية

اسم المصدر

حل بعض المعادلات الإهليجية باستعمال طريقة الفروق المنتهية وطريقة العنصر المنتهي ومقارنتهما

المحتوى والصفحات

عدد الصفحات

0

ترجمة الملخص

The majority of physical and engineering phenomena are described by partial differential equations. Solving these equations is essential for understanding such problems; however, obtaining their exact analytical solution is frequently challenging. Consequently, it becomes necessary to utilize numerical methods for approximating these equations.In this study, we focused on linear second-order elliptic partial differential equations, specifically employing two-dimensional Poisson's and Laplace's equations as representative models for the aforementioned phenomena. We successfully derived the analytical solutions for the equations under investigation: using the separation of variables method for homogeneous elliptic PDEs and the eigenfunction method for inhomogeneous ones. For the inhomogeneous equations, a comparative analysis was conducted between the analytical solution and the numerical solutions generated by applying both the Finite Difference Method and the Finite Element Method. This comparison was presented through numerical tables and graphical plots. It is worth noting that although some of these equations were found in existing literature and solved using similar or alternative techniques, their presentation often lacked detail and clarity for the reader. Our approach therefore involved re-formulating and presenting these solutions in a detailed, simplified manner to clearly illustrate each method's mechanism and enhance reader comprehension. Our findings from the examined examples indicate that both the Finite Differences Method and the Finite Element Method exhibit convergence towards the analytical solution when applied to a two-dimensional homogeneous elliptic (Laplace) equation defined on a regular domain (such as a rectangle or triangle) and subject to homogeneous and inhomogeneous Dirichlet boundary conditions. Conversely, when addressing a two-dimensional inhomogeneous elliptic (Poisson) equation under homogeneous and inhomogeneous Dirichlet boundary conditions, the Finite Element Method generally yields a superior approximate solution compared to the Finite Difference Method, resulting in lower errors, particularly when the domain of the inhomogeneous elliptic (Poisson) equation possesses a regular geometric form (rectangle, triangle, etc.).Keywords: Finite Difference Method, Finite Element Method, Two-Dimensional Poisson's Equation, Two-Dimensional Laplace's Equation

كلمات الباحثين

طريقة الفروق المنتهية - طريقة العنصر المنتهي - معادلة بوسون في بعدين - معادلة لابلاس في بعدين

إشراف وإعداد

الإشراف

عمر علي العيان

الإعداد

نعيمة مفتاح سالم ابحور

الاقتباسات الببليوغرافية