Sur un problème d’évolution régi par un opérateur dépendant du temps et de l’état

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علوم بحتة وطبيعية

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Les mathématiques consistent d’abord en un langage, qui permet de transcrire des problèmesde nature quantitative : c’est la modélisation. Une fois cette transcription faite,des outils sont disponibles pour comprendre et résoudre les problèmes issus des phénomènesdu monde réel qui utilise les lois de la physique (mécanique, thermodynamique,électromagnétisme, etc...), ces lois sont, généralement, écrites sous la forme de bilans quise traduisent mathématiquement par des Équations Différentielles Ordinaire ou par desÉquations aux dérivées partielles.Aujourd’hui, la théorie des équations différentielles (univoques et multivoque) est devenueplus importante et plus attirante. Son champ d’application s’est considérablementdéveloppé, et s’est avéré Fructueuse dans de nombreux domaines comme : la mécaniqueunilatérale, l’économie mathématiques, les sciences de l’ingénieur (circuit électrique nonrégulier), etc..., plus récemment, elle est devenue une des méthodes importantes pourl’étude des inégalités variationnelles d’évolution.Ce mémoire représente mon premiers pas dans le domaine de la recherche, ceci par la lecture,l’étude et le détail des résultats dans les articles [3]; [9]; [15], partant sur l’existenceet l’unicité de solutions pour certaines classes d’inclusions différentielles du premier ordrerégies par un opérateur maximale monotone dans [3]; [15] dépendant du temps et dans [9]dépendant du temps et de l’état.Les opérateurs monotones (en générale, multivoques), jouent un rôle très important dansbeaucoup de domaines mathématiques. Notons, par exemple l’optimisation (Les sous différentiellesdes fonctions propres convexes et semi continues inférieurement sont des opérateursmaximaux monotones). Tout sa a abouti à une large étude de ces opérateurs.Puisque la nature d’un opérateur monotone peut être assez difficile à manipuler, soit dupoint de vue théorique, soit du point de vue numérique, de nombreux auteurs se sontintéressés à chercher des approximations ou régularisations d’un opérateur, pour obtenirà partir d’un opérateur monotone donné, un autre qui a plus de propriétés régulière parexemple la régularité de Yosida.Les problèmes gouvernés par les opérateurs maximaux monotones constituent une classeimportante d’inclusions différentielles. Ce type de problème a été d’abord étudié lorsquel’opérateur A ne dépend pas du temps. En 1971, H.Brezis [7] utilise la méthode de la régularisationde Yosida pour démontrer l’existence et l’unicité d’une solution Lipschitziennede l’inclusion(P1)8>:&###1048576;u_ (t) 2 Au(t); p:p:t 2 [0;+1[u(0) = u0 2 D(A):Où A : D(A) H H est un opérateur maximal monotone et H est un espace deHilbert.Plusieurs résultats ont suivi avec diverses classes de perturbations.Voir par exemple [4]; [18]et leurs références pour d’autres Théorèmes.Une continuation aux travaux cité ci-dessus, donne naissance à l’étude de problèmes dévolutiongouvernés par des opérateurs maximaux monotones dépendant du temps, c’està dire les problèmes qui se présentent sous la forme(P2)8>:&###1048576;u_ (t) 2 A(t)u(t); p:p:t 2 Iu(0) = u0 2 D(A(0)):Citons par exemple [2]; [3]; [15].Dans [15], les auteurs on montré l’existence de solution à variation bornée et absolumentcontinue pour le problème (P2) avec une condition utilisant une pseudo-distance introduitepar Vladimirov [18].Dans le cas où A dépend du temps et de l’état, plusieurs travaux ont généralisé les travauxcité ci-dessus et les problèmes se présentent sous la forme(P3)8 048576;u_ (t) 2 A(t; x(t))u(t); p:p:t 2 Iu(t) 2 D(A(t; x(t))); 8t 2 Iu(0) = u0 2 D(A(0; x(0))):où x(t) = x0 +Z t0u(s)ds; t 2 I:Ces type de problèmes est dit aussi problème de second ordre par rapport à l’état x.8IntroductionDe nombreux travaux peuvent être trouvés dans la litérature voir par exemple [9]; [11].Un bref schéma du contenu présenté dans ce mémoire peut se décrire comme suit :On commence par des notations et quelques espaces usuels qu’on utiliser a tout au longde ce mémoire.Le premier chapitre est intitulé "Préliminaires", il réunit un ensemble de Définitions, Propositionset Théorèmes sur l’analyse fonctionnelle ansi que le propriétés fondamentalesdes opérateurs maximaux monotones dans un espace de Hilbert, et d’autres bagages mathématiquesqui vont nous servir de clé dans les chapitres qui suivent.Dans le deuxième chapitre intitulé "Existence de solutions pour une inclusion du premierordre gouvernée par un opérateur dépendant du temps" on donne un résultat d’existenceet d’unicité pour le problème (P2) dans le cas où t 7! A(t) est absolument continue ausens de Vladimirov.On a essayé de détailler le papier de Azzam et all . Ce résultat se trouve aussi dans laréférence [15] avec des démonstrations différentes. On suit l’algorithme de discrétisationsdonné dans [3].Le troisième chapitre intitulé "Existence de solutions pour une inclusion différentielle dupremier ordre gouvernée par un opérateur dépendant du temps et de l’état" est une continuationde travail établi dans le deuxième chapitre c’est-à-dire c’est un travail qui utilise lerésultat du deuxième chapitre. En effet, on s’intéresse à l’étude de l’existence de solutionpour le problème (P3) dans un espace de Hilbert séparable H.On essaye de détailler une partie du papier de Castaing et al dans [9], concernant l’existencede solution pour une inclusion différentielle du premier ordre gouvernée par unopérateur maximale monotone dépendant du l’état et de temps, on peut dire aussi inclusiondifférentielle du second ordre par rapport à l’état x

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Sur un problème d’évolution régi par un opérateur dépendant du temps et de l’état

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Préliminaires,Résultats d’Existence de solutions pour une inclusion du premier ordre gouvernée par un opérateur dépendant du temps

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