Systèmes lents-rapides avec problèmes réduits hamiltoniens et l'équation de Cahn-Hiliard

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علوم بحتة وطبيعية

الملخص

Les systèmes lents-rapides où systèmes à deux échelles de temps sont des systèmes d'équations différentielles caractérisés par la multiplication de la dérivée d'ordre le plus élevé par un paramètre réel petit. Dans la première partie de ce travail on s'intéresse aux systèmes d'équations différentielles à deux échelles de temps (systèmes lents-rapides), dont le problème réduit est Hamiltonien avec ou sans paramètre lentement variable. Dans le chapitre I on rappelle les notions de base sur les systèmes lents-rapides ainsi que sur les systèmes Hamiltoniens avec quelques résultats de référence de la littérature. Le chapitre II constitue le résultat de notre contribution. Ainsi dans ce chapitre on considère un système lent-rapide dont le système lent est Hamiltonien. Le théorème de Tikhonov nous assure une approximation de l'ordre de 1 des solutions du système lent-rapide considéré. En considérant la région d'oscillations du Hamiltonien et par l'application de la technique de moyennisation, on donne une approximation de l'ordre de de l'énergie totale du système et du paramètre, qui sont tous les deux à variation lente. On résout complètement à la main quelques exemples que nous illustrons avec des simulations numériques. Les résultats de cette partie sont énoncés dans l'analyse classique et prouvés dans la théorie IST (Internal Set Theory), qui est une approche axiomatique de la théorie de l'Analyse Non Standard de Robinson. Dans la seconde partie, le chapitre III est consacré aux notions de base sur le calcul fractionnaire et à la méthode de décomposition d'Adomian. Ce chapitre est couronné par l'application de la méthode de décomposition d'Adomian sur l'équation de Cahn-Hilliard avec dérivée fractionnaire sur la variable temps et la variable espace. Comme résultat on obtient des solutions numériques sous formes de séries convergentes.

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008c5b0c-9b0e-498b-81e4-3b149893ad0d

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رسائل دكتوراة

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word

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1377337_1.doc, 1377337_2.pdf

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ألقاب المؤلفين

[{"name_ar":" Maamar Benbachir","title_ar":"اعداد","title_en":"Preparation"},{"name_ar":"Rachid Bebbouchi ","title_ar":"اشراف","title_en":"Supervision"}]

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French

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Systèmes lents-rapides avec problèmes réduits hamiltoniens et l'équation de Cahn-Hiliard

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ترجمة الملخص

Slow and fast systems are characterized by the multiplication of some of the derivatives by a small real parameter ε. In the first part of this thesis we deal with the special cases of systems that the reduced problems of which are Hamiltonian equations, with or without a slowly varying parameter. In Chapter I we recall the basic notations and definitions of singular perturbations and of Hamiltonian systems with some classic results of the literature. Chapter II is devoted to our contribution. We consider a slow and fast system that the reduced problem is Hamiltonian system, the Tikhonov theorem gives approximate solutions for times of order 1. By the use of the stroboscopic method, which is an efficient tool developed in nonstandard analysis, we establish approximations for times of order. More exactly, the variation of the total energy of the problem as well as the eventual slow parameter is approximated by a certain averaged differential equation. The results are illustrated by some numerical simulations. The results are formulated in classical mathematics and proved within Internal Set Theory which is an axiomatic approach to Nonstandard Analysis. In second part, the third chapter III is reserved to elementary notions and definitions of fractional derivatives and a brief review of Adomian decomposition method (ADM). By introducing the fractional derivative in the sense of Caputo, we apply the Adomian decomposition method for Cahn-Hilliard with time-and space-fractional derivative. As a result, numerical solutions are obtained in a form of rapidly convergent series with easily computable components.

كلمات الباحثين

Equations différentielles, Fractions, Perturbations singulières (mathématiques), Systèmes hamiltoniens

إشراف وإعداد

الإشراف

Rachid Bebbouchi

الإعداد

Maamar Benbachir

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