Les méthodes proximales pour l’optimisation non différentiable

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علوم بحتة وطبيعية

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Les algorithmes d’optimisation sont généralement écrits pour minimiser une fonction. Sil’on désire maximiser une fonction, il suffira de minimiser son opposée. Nous nous intéressonsaux méthodes d’optimisation adaptées au cas où la fonction à minimiser est convexe mais nondifférentiable. De manière général, les méthodes pour l’optimisation non différentiable s’inspirentlargement des méthodes différentiables.Dans ce mémoire, on s’intéresse aux méthodes proximaux pour résoudre des problèmesd’optimisation non différentiable qui s’écrivent sous la forme :8<:Minimiser F(x) = f1(x) + · · · + fm(x),x 2 Rn.(1)Où f1, f2, · · · , fm sont des fonctions convexes ne sont pas toutes différentiable. Il y a uneclasse spécifique d’algorithmes qui peuvent résoudre le problème d’optimisation (1).Pour m = 2, la fonction F que nous voulons minimiser n’est pas différentiable, car certainsalgorithmes dits de splitting permettent de minimiser la somme de fonctions en alternant desopérations élémentaires utilisant chacune des fonctions prises séparément.Ce mémoire est divisé en deux chapitres. Le premier chapitre est consacré au rappel dequelques notions de base sur la convexité et d’autre part on présente les outils spécifiquesd’optimisation non lisse comme le sous différentiel et les opérateurs monotones. Nous étudieronsensuite les conditions d’optimalité dans le cadre non lisse. Dans le deuxième chapitre, ons’intéresse à l’opérateur proximal et ses propriétés. Nous étudierons plusieurs algorithmesproximaux et leur cadre d’applications, l’algorithme du point proximal, l’algorithme Forward-Backward et l’algorithme Douglas-Rachford ainsi que l’algorithme des directions alternées. Pourconclure cette partie nous verrons comment un même problème peut être réécrit de plusieursmanières et ainsi être résolu via divers algorithmes. On termine ce mémoire par une conclusionfinale.

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Les méthodes proximales pour l’optimisation non différentiable

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Les méthodes proximales,l’optimisation non différentiable,Éléments d’analyse convexe,Algorithmes Proximaux

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Ismaile Addoune

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